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Formule de Kelly, ou l'allocation d'actifs simplifiée

Investir sur les marchés financiers peut être affaire d'intuitions et de ressentis. Ainsi, il n'est pas rare qu'un investisseur décide de se positionner sur un titre sans avoir réfléchi davantage sur la valeur, ni son espérance de gains potentiels. Cette démarche est courante, mais peut être aussi très coûteuse pour qui serait amenée à l'utiliser. En effet, il est reconnu qu'il convient de gérer son portefeuille boursier de façon raisonnée afin d'en obtenir le meilleur rendement. Il s'agit là du money management. Cette gestion peut vous aider à limiter les pertes et à maximiser les profits.

Le money management, utilisé par 100% des traders professionnels, consiste d'une part à définir une allocation de chaque titre au sein du portefeuille. Ainsi, l'investisseur choisira de se positionner sur des obligations, en leur apportant une dose de dynamisme avec des actions. Il choisira alors de placer 80% de son portefeuille en obligations, et 20% en actions. Sur le long terme, il conservera la même répartition afin de conserver le même profil de risque / rentabilité qu'il s'est fixé initialement. Outre cette allocation de titres qui fixe une diversification optimale selon votre profil, il conviendra de déterminer les plus values et moins values maximales de chacun de vos investissements. En effet, avant même d'acquérir vos actions, vous devrez savoir quelle est la parte maximale que vous accepterez avant de déboucler votre position, mais aussi la plus-value maximale que vous attendez de cet investissement. Allocation d'actifs et gestion du couple gain / perte sont les deux éléments indispensables à un money management.

En 1956, John Larry Kelly signe un papier sur une formule mathématique, la formule de Kelly ou Critère de Kelly. Cette formule sert à déterminer le pourcentage à allouer à un pari, en tenant compte des probabilités des gains mais également du ratio Gain / Perte. Cette formule a depuis lors été transposée au monde de la finance mais aussi des jeux d'argent, malgré des conditions de mises en oeuvre rarement respectées. En effet, pour être valable, les conditions de chaque trade doivent être identiques et ce dernier doit se reproduire à l'infini. Autrement dit, la Formule de Kelly peut être intéressante mais elle ne doit pas être vue comme une martingale dans la Finance comme dans les jeux en ligne.

La formule de Kelly fixe à déterminer l'allocation optimale pour maximiser ses gains. Elle se calcule avec la probabilité de gains, et le rapport gains / pertes. Pour déterminer la probabilité de gains, mais aussi de pertes, de vos trades, vous devrez vous appuyer sur votre historique d'opérations. Listez les 50, 100 ou 200 dernières opérations et comptabilisez les opérations gagnantes et perdantes. Ainsi, si, sur 200 opérations, 150 se sont soldées par un gain, on estime que votre probabilité de gain dans l'avenir sera de 150 / 200, soit 75%. Il va sans dire qu'il s'agit là d'un postulat facilement critiquable. Le fait que vous ayez réalisé autant d'opérations gagnantes par le passé ne présuppose en rien de vos performances à venir. Tout logiquement, avec une probabilité de gains de 75%, votre probabilité de pertes est fixé à 25%.

Outre cette probabilité de gains, il vous faudra déterminer votre rapport Gains moyens sur pertes moyennes. Ce rapport peut être fort différent de votre probabilité de gains. Ainsi, en reprenant les mêmes opérations, si vous découvrez que vous avez réalisé en moyenne 340 euros de plus-values sur vos opérations gagnantes, et 430 euros de moins-values sur vos opérations perdantes, votre rapport Gain moyen sur Perte moyenne sera de 340 / 430, soit 0,79. Autrement dit, pour compenser ce rapport plus que défavorable, vous devez multiplier les opérations gagnantes.

Une fois ces deux éléments définis -probabilité de gain, rapport gain / perte-, vous pouvez alors déterminer le Kelly %, ou la part idéale de chaque actif dans votre portefeuille. La formule de Kelly est : g - (p/r) avec g : probabilité de gain, p : probabilité de perte, r : rapport Gain / Perte. Avec les données calculées précédemment, nous obtenons : 0,75 - (0,25/0,79) = 0,433.


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En appliquant la formule de Kelly, chaque nouvelle opération devra représenter 43,3% de votre portefeuille. Ce chiffre très élevé s'explique par un rapport gain / perte inférieur à 1, ce qui implique de multiplier les opérations pour générer des plus-values. Dans ce cas de figures, vous devrez davantage chercher à améliorer votre rapport gain / perte plutôt que d'appliquer simplement cette formule qui conduira votre portefeuille a être très peu diversifié.

La Formule de Kelly doit donc être utilisée comme un outil et non comme une martingale fonctionnant dans 100% des cas. Elle peut toutefois être plus qu'utile pour s'aider dans le choix d'une allocation d'actifs optimale. Elle est d'ailleurs utilisée par des investisseurs de renoms comme Warren Buffett.